□作者: Jacob D. Bekenstein
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我們這個看似3維的時空，可能被“畫”在一個遙遠的巨大表面上
如果你問別人物理世界是由什麼構成的，他很可能告訴你是“物質和能量”。但只要我們學過一點工程、生物和物理的話，就知道信息同樣是一個不可或缺的組成部分。只給汽車廠的機器人金屬和塑料，它們不可能做出任何有用的東西，只有給它們下達如何焊接的指令它們才能組裝出汽車。我們身體細胞中的核糖體擁有阿米諾酸組建模塊和ATP合成為ADP過程中釋放的能量，但如果沒有細胞核中DNA所攜帶的信息，同樣無法合成任何蛋白質。類似地，一個世紀以來物理學的進展告訴我們，信息在物理系統和物理過程中起著關鍵的作用。實際上，現在就有一個學派認為物理世界是由信息構成的，它的創始人是美國普林斯頓大學的John A. Wheeler。該理論認為信息才是最重要的，物質和能量不過是附屬物而已。
這種觀點引發了對許多古老問題的重新審視。硬盤之類存儲設備的信息存儲容量獲得了飛速發展。這樣的進展什麼時候會終止？一個重量小于1克，體積小于1立方厘米（這大約是計算機芯片的尺寸）的設備的終極信息存儲容量是多少？描述整個宇宙需要多少信息？這種描述能被裝入計算機的內存中嗎？我們真的能象William Blake說的那樣“透過一粒沙看世界”嗎？抑或這種說法只不過是詩人的狂想？
值得注意的是，近期理論物理學的進展解答了上面的部分問題，而這些回答很有可能是找到客觀的最終理論的重要線索。通過研究黑洞的那些神秘特性，物理學家已經推導出了某一部分空間或一定量的物質和能量所能包含信息量的絕對限度。相關的研究結果表明，我們的宇宙也許並不是一個我們所認為的那種三維空間，它很有可能是某種“寫”在二維表面上的全息圖形。我們對日常世界的三維認知要麼是一種玄奧的幻覺，要麼就是觀照現實的兩種方式之一而已。一粒沙也許不能包含整個宇宙，但是一個平板顯示器卻有可能做到。 兩種熵正統信息論的創始人是美國應用數學家香農。他于1948年發表了一系列開創性的論文，所引入的熵這一概念如今被廣泛用于信息的度量。長久以來，熵就是熱力學（研究熱的一個物理學分支）的中心概念。熱力學中的熵通常被用于表征一個物理系統的無序程度。1877年，奧地利物理學家玻爾茲曼提出了一種更為精確的描述︰一團物質在保持宏觀特性不變的情況下，其中所包含的粒子所有可能具有的不同微觀狀態數就是熵。例如，對于包圍你的室內空氣而言，就可以計算單個空氣分子所有可能的分布方式及其所有可能的運動方式。
當香農設法量化一條消息中的信息時，他自然而然地得出了一條和玻爾茲曼一樣的公式。一條消息的香農熵就是編碼這條消息所需二進制位即比特的個數。香農熵並不能告訴我們一條消息的價值，因為後者主要取決于上下文。然而作為對信息量的一種客觀度量，香農熵還是在科學技術中獲得了廣泛的應用。例如，任一現代通信設施——蜂窩電話、調制解調器、CD播放器等等——的設計都離不開香農熵。
從概念上來說，熱力學熵和香農熵是等價的︰玻爾茲曼熵所代表的不同組成方式的數目反映了為實現某種特定組成方式所必須知道的香農信息量。但這兩種熵還是存在著某些細微的差別。首先，一名化學家或制冷工程師所使用的熱力學熵的表示單位是能量除以溫度，而通信工程師所使用的香農熵則表示為比特數，後者在本質上是無單位的。這一差別完全屬于習慣問題。
即使采用同樣的表示單位，兩種熵值的量級還存在著巨大的差異。例如，帶有1G數據的 片的香農熵約為10*10個比特（1個字節等于8個比特），這比該芯片的熱力學熵可小多了，後者在室溫下的取值約為10*23比特。這種差異來源于兩種熵在計算時所考慮的不同自由度。自由度指的是某一可變化的量，例如表示一個粒子位置或速度分量的座標。上述芯片的香農熵關心的只是蝕刻在 晶上所有晶體管的狀態。晶體管到底是開還是關；它要麼為0，要麼為1，是單一的二進制自由度。熱力學熵則不同，它取決于每一個晶體管所包含的數十億計的原子（以及圍繞它們的電子）的狀態。隨著小型化工藝的發展，不久的將來我們就能用一個原子來存儲一比特的信息，到那時，微芯片的香農熵將在量級上迫近其材料的熱力學熵。當用同樣的自由度計算這兩種熵時，它們將是完全相同的。
那麼自由度是否存在極限？原子由原子核和電子組成，原子核又由質子和中子組成，質子和中子又由夸克組成。今天有許多物理學家認為電子和夸克不過是超弦的激發態而已，他們認為超弦才是最基本的實體。然而一個世紀以來物理學的興衰變遷告訴我們不能這樣武斷。宇宙的結構層次有可能比今天的物理學所夢想的還要多得多。
不知道一團物質的終極組成部分或其最深層次的結構，我們就無法計算其終極信息容量，同樣也無法計算其熱力學熵。我把這種最深的結構層次稱為第X層。（這種不確定的描述在實際的熱力學分析中毫無問題，例如當我們分析一個汽車引擎，原子中的夸克就可以被忽略掉，因為在引擎這樣一種相對溫和的環境下，它們是不會改變狀態的。）按照微型化技術目前這樣快的發展速度，我們可以設想將來某日夸克能被用來存儲信息，也許是一個夸克一比特。到那時一立方厘米能存儲多少信息？假如我們能進一步利用超弦或者更深層次的結構來存儲信息呢？令人吃驚的是，近30年來引力物理學領域的成果對這些看似深奧的問題提供了一些明確的答案。
黑洞熱力學
這些成果的一個中心角色就是黑洞。黑洞是廣義相對論（愛因斯坦1915年提出的引力幾何理論）的產物。根據這一理論，引力來源于時空的扭曲，它使得物體發生移動，就像有一個力在推動一樣。與之可逆的是，物質和能量的存在導致了時空的扭曲。根據愛因斯坦的方程式，一團足夠致密的物質或能量能將時空彎曲到撕裂的極端程度，這時黑洞就形成了。至少在經典（非量子的）物理學範疇內，相對論決定了任何進入黑洞的物質都無法再從中逃脫。這個有去無回的點被稱為黑洞的視界。在最簡單的情況下，視界是一個球面，黑洞越大，這個球體的表面積就越大。
要探究黑洞內部是不可能的。沒有任何具體的信息能穿過視界逃離到外部世界中。然而，在進入黑洞並永久消失之前，一團物質還是能留下一些線索的。它的能量（按照愛因斯坦方程E=mc*2，可以將任意質量換算成能量）將不變地反映為黑洞質量的增量。如果在被黑洞捕獲前它正在圍繞黑洞旋轉，那麼它的角動量將被加到黑洞的角動量之中。黑洞的質量和角動量都可以通過黑洞對周圍時空的作用而獲得測量。這樣，黑洞也遵守能量和角動量守恆準則。但另一個基本定律，即熱力學第二定律，看起來是被破壞了。
熱力學第二定律是對慣常觀測現象的一個總結︰自然界中絕大部分過程都是不可逆的。茶杯從桌上摔碎後，沒有人看到碎片自己按原路蹦回又組成一只完整的杯子。熱力學第二定律禁止這些逆過程的發生。它指出，孤立系統的熵永遠不可能減少；熵最多保持不變，大部分情況下，熵值是增加的。這條定律是物理化學和工程學的核心；它被認為是對物理學之外其他領域產生影響最多的一條定律。
就像Wheeler首先指出的那樣，當物質消失于黑洞時，它的熵似乎永久消失了，熱力學第二定律這時看起來也失效了。解決這一謎題的線索首先出現于1970年。Demetrious Christodoulou（當時他在普林斯頓大學做Wheeler的研究生）和英國劍橋大學的Stephen W. Hawking（霍金）各自獨立證明了，在多種不同的過程中（例如黑洞的合並等），最終的視界總表面積不會減少。通過將這一性質和熵值趨向于增加的特性相類比，我于1972年提出了黑洞熵值正比于其視界表面積的理論【參加下頁圖示】。根據我的推測，物質落入黑洞後，黑洞熵值的增加總能補償或者過補償該物質所“喪失”的熵。更廣泛地來說，黑洞的熵值及其外面的普通熵值之和永遠不會變小。這就是廣義第二定律（簡稱GSL）。
GSL已經通過了大量嚴格（如果僅從理論上來看的話）的驗證。當一顆恆星坍塌稱為一個黑洞時，黑洞的熵值將大大超過該恆星的熵值。1974年霍金證明了黑洞必然會通過一個量子過程釋放我們現今稱之為霍金輻射的熱輻射。對于這種現象（黑洞的質量及其視界表面積都減少了），Christodoulou-Hawking定理就失效了，然而GSL卻能適用︰黑洞散發出去的熵值超過了其本身熵值的減少，所以GSL仍然成立。1986年，美國雪城大學的Rafael D. Sorkin研究了視界在阻止黑洞內部信息影響外部事件時起到的作用，他因此得出結論︰對于黑洞發生的任何可能的過程，GSL（或與之非常相似的理論）必然是成立的。他的深入研究明確指出，無論X取值多少，GSL中的熵對層次X都是成立的。
霍金對輻射過程的處理使他得到了黑洞熵值和視界表面積之間的比例關系︰黑洞的熵值恰恰是按照普朗克表面積丈量的視界表面積的1/4。（普朗克長度，約為10*－33厘米，是萬有引力和量子理論中的基本長度單位。普朗克表面積即它的平方。）即使是從熱力學熵的角度來看，這個值也是非常巨大的。一個直徑為1厘米的黑洞的熵值約為10*66比特，這大致和一個邊長為100億公里的立方水柱所含的熱力學熵相當。
世界是一張全息圖
GSL讓我們有可能為任何孤立的物理系統設定信息容量的限度。這些限度對于直到X層的任何結構層次都將成立。1980年我開始研究第一個這樣的界。它被稱為通用熵界，它確定了特定尺寸特定質量的物質所能包含信息量的界限【參見前頁框文】。美國斯坦福大學的Leonard Susskind于1995年提出了一個與之相關的稱為全息界的概念。它確定了佔據一定空間體積的物質或能量所能包含信息量的界限。
在研究全息界的過程中，Susskind考察的是一團近乎球體的孤立物質，它並非黑洞，而是被緊密地裝入到一個表面積為A的表面中。如果該物質能坍塌為黑洞，則最終形成的黑洞的視界表面積將小于A。這樣黑洞熵將小于A/4。按照GSL，該系統的熵不能減少，因而物質的初始熵不能大于A/4。這樣我們就可以得出結論︰邊界表面積為A的孤立物理系統的熵值必然小于A/4。然而如果該物質無法自行坍塌又如何呢？我在2000年證明了，一個小的黑洞可以將一個和Susskind論證過程中那個沒什麼大區別的系統轉變為黑洞。因而這個界是獨立于系統的組成或者層次X的特性的。它僅僅依賴于GSL。
現在我們可以回答某些關于信息存儲量最終限度的深奧問題了。一個直徑為1厘米的裝置理論上可以存儲高達10*66比特的信息量，這可是一個令人難以置信的數量。可見的宇宙最少包含了10*100比特的熵，理論上可將之裝入到一個直徑為十分之一光年的球體之中。要估計宇宙的熵很困難，然而對于特別大的數值，例如一個幾乎與宇宙本身一樣大小的球體，則是完全可行的。
但是全息界的另一方面卻真正讓人大吃一驚。就是說，最大可能的熵值取決于邊界面積而不是體積。讓我們設想將計算機內存芯片堆成一個大堆。晶體管的數目（即總的數據存儲容量）隨著堆體積的增加而增大。所有芯片的熱力學熵之和也同樣增大。然而值得注意的是，這堆芯片所佔據空間的理論終極信息容量僅僅隨表面積的增加而增加。因為體積的增長遠遠快于表面積的增長，到某一程度，所有芯片的熵值之和將超過全息界。看起來無論是GSL還是我們通常意義上的熵和信息容量都失效了。實際的情況上，真正失效的是堆積過程本身︰在上述情況出現之前，它就將因為本身的引力而坍塌並形成一個黑洞。在此之後每增加一個芯片都將增大黑洞的質量和表面積，但這都將遵循GSL。
如果全息原理（由諾貝爾得主、荷蘭烏得勒支大學的Gerarad't Hooft于1993年提出，並得到了Susskind的進一步闡述）是正確的話，信息容量取決于表面積這一令人吃驚的結論就將得到自然的解釋。在日常世界里，全息圖形是一種特殊的膠片，當用合適的方法將它曝光時，它就將產生一個真正3維的影像。描述3維圖景的所有信息都被編碼到2維膠片上的明暗相間的圖樣上。用這個膠片隨時都可以復現該3維圖景。全息原理指出，這一視覺魔術的原理可以類推到對任何一個佔據3維區域的系統的所有物理學描述之中，另一個在該區域的2維邊界上定義的物理學理論能完全描述該3維區域的物理學。如果一個3維系統能被運作于其2維邊界上的物理理論所完全描述，我們就有理由推測該系統的信息容量不可能超越其邊界上的描述。
“畫”在邊界上的宇宙
我們能把全息原理推廣到宇宙這樣大的範圍嗎？真正的宇宙是一個4維系統︰它有體積並隨著時間軸延伸。如果我們這個宇宙的物理學具有全息性，那麼就會存在另外一套運作在某個時空的三維邊界上的物理學定律，它們將和我們現在所知的4維物理學完全等效。到目前為止我們還沒有發現任何這樣的3維定律。事實上，我們拿哪個界面做為宇宙的邊界呢？要實現這些想法我們需要首先邁出的一步就是研究比真實宇宙更簡單的那些模型。
所謂的反德西特時空就是一類全息原理能成立的具體例子。原始的德西特時空是荷蘭天文學家威廉•德西特于1917年根據愛因斯坦方程式導出的一個解，其中包括了被稱為宇宙常量的斥力。德西特時空是空曠的，以一定的加速度膨脹並且是高度對稱的。1997年，宇宙學家在研究遙遠的超新星爆發時得出結論︰我們的宇宙正在加速膨脹，未來它有可能變得越來越像一個德西特時空。如果我們將愛因斯坦方程式中的斥力換成引力，那麼德西特解將變成一個反德西特時空，它和德西特時空具有相同的對稱性。對于全息概念來說，反德西特時空的重要性就在于它擁有一個位于“無限”處的邊界，這一點和我們的日常時空非常相似。
利用反德西特時空，理論家設計出了一個全息原理起作用的具體例子︰一個在反德西特時空內運作的宇宙可以用超弦理論完全描述，這套描述和在該時空邊界上起作用的量子場論完全等效【參見本頁框文】。這樣，上述反德西特時空內部超弦理論的全部奧秘就都被畫在了該宇宙的邊界上。1997年，Juan Maldacena（那時他還在哈佛大學）首先推測，在5維反德西特時空上存在這種關系。此後，美國新澤西州普林斯頓大學高級研究院的Edward Witten及普林斯頓大學的Steven S. Gubser、Igor R. Klebanov和Alexander M. Polyakov在多種情況下證實了該推測。現在我們已經知道在多種不同維數的時空上都存在著這樣的全息對應關系。
這個結論意味著，兩個表面上看來非常不同的理論（它們甚至是各自生效在不同維數的時空里）是完全等效的。生存在這些宇宙中的生物將無法確定它們是棲息于一個由弦論描述的5維時空還是一個由量子場論描述的4維時空中。（當然，這些生物的大腦結構也許會給它們一種“常識”，讓它們以為自己是生存于某一種宇宙中。就像我們的大腦結構讓我們有一種內在的感覺，我們的宇宙具有3維空間結構；參見下頁圖示）全息等價使得一個在某一時空中難以計算的問題可以用另一種方式解決。比如，4維邊界時空上夸克和膠子特性的計算，就可以轉化為在高度對稱的5維反德西特時空上更簡易的計算。這種對應關系還有其他的表現方式。Witten就曾證明，反德西特時空上的黑洞等價于其邊界時空上的熱輻射體。黑洞這個神秘概念的熵就等于該輻射體的熵，顯然後者要容易理解得多。
不斷膨脹的宇宙
度對稱且空曠的5維反德西特時空和我們這個充斥著物質和輻射且不斷受劇烈事件擾動的4維宇宙似乎有很大不同。即使把我們的宇宙近似為一個物質和輻射體均勻分布的系統，我們得到的也不是一個反德西特宇宙，我們得到的將是一個“弗里德曼-羅伯遜-沃克”宇宙。今天絕大部分的天文學家都認為我們的宇宙是一個無限的、無邊界的並將永遠膨脹的“弗里德曼-羅伯遜-沃克”宇宙。
這樣的一個宇宙還遵守全息原理或具有全息界嗎？Susskind基于坍塌至黑洞的推斷在這里毫無作用。實際上，由黑洞所導出的全息界必然在我們這個單調膨脹的宇宙中失效。一塊均勻分布著物質和輻射的區域的熵確實將和它的體積成正比。這樣的話，一塊足夠大的區域（所包含的熵）就會突破全息界。
Raphael Bousso于1999年（當時在斯坦福大學）提出了一個改進的全息界，後來發現這個界在上面所述的那些原全息界遇到問題的地方還能適用。Bousso這個全息界的構成起始于任意合適的2維界面；它可以像一個球面一樣是封閉的，也可以像一張紙那樣是開放的。現在讓我們來想象一束短暫的光線同時從這個界面的一邊垂直射入。這里唯一的要求就是這些虛擬的光線都是從同一點發射出來的。例如說，從一個球面的內部透射出來的光線就符合這一要求。現在讓我們來看這些光線所經過的物質和輻射體的熵。Bousso推測說這個熵值不能超過由初始界面所代表的熵——表面積的1/4（以普朗克面積為單位）。這種計算熵的方法和原來那種全息界的計算方法有所不同。Bousso界並非只考慮某一時刻某一區域的熵值，它計算的是不同時間不同位置的熵值之和︰那些被從表面來的光線所“照亮”的熵。
Bousso界在繼承其他熵界的基礎上又避免了它們的局限性。只要所涉及的孤立系統變化不是很快，引力場不是很強，無論是通用熵界還是全息界的't Hooft-Susskind形式都可以從Bousso界中推導得出。如果這些條件都不滿足——例如涉及的物質已經落入了黑洞之中，那麼這些界就將失效，但Bousso界卻能繼續適用。Bousso還證明了，他的這一方法能用于定位建立世界全息圖形的2維界面。 革命性的前夜
研究人員已經提出了各種各樣的熵界。對于全息這一課題，存在那麼多的流派，這證明它還沒有上升到物理定律的高度。雖然全息的思想還沒有完全被我們所理解，但它看起來確確實實是對的。隨之而來的是，人們開始認識到，盛行了50年的那個基本信仰，即場論是物理學的最終語言的看法，必須拋棄了。場，比如說電磁場，不同點之間是連續變化的，因而它們描述的自由度是無限的。超弦理論也支持無限多的自由度。全息論則將一個封閉界面里的自由度限制到一個有限的數目上；場論因為其自由度的無限所以不可能是最終理論。此外，即使自由度無限的問題得到了解決，信息量和表面界之間那種神秘的對應關系也應該得到解決。
全息論也許為另一個更好的理論指明了方向。基本理論應該是什麼樣子的？全息論發展過程中的一系列論證推理讓某些科學家（其中最著名的是加拿大沃特盧理論物理Perimeter學院的Lee Smolin）提出，最終理論考慮的不是場，甚至不是時空，而應該是物理過程之間的信息交換。如果真是這樣的話，把信息看成世界的組成部分的觀點就體現了它的價值。
[何毓嵩/譯 曾少立/校]
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文章作者:Jacob D. Bekenstein
責任編輯:skylook
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