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地球半徑巧測量
（2006年06月02日 10:53:02）
來源︰《牛頓科學世界》
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□作者:
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兩千多年前，哲學家們找到了測量地球半徑的方法，只需量一下影子的長度就可以計算出地球的半徑。不知讀者朋友們能否在一間鄰海的房子里只借助一只表和一把皮尺測量地球半徑呢？
假如你正在海邊度假，住在一家臨海旅館四層的一個房間里，房間視野很開闊。有一個人懸賞說，明天天亮以前，誰要能想出一個相當準確的方法來測量地球半徑，將獲得一筆獎金，條件是除了借助一只表和一把皮尺外，不能使用特別的儀器。你能做到嗎？
先別急著往下看，也不要看圖，你先仔細想一想。你就想像你在旅館里，房間的位置如上所述，免得你走彎路。
答案
你可以測一下房間的窗台離地面有多高，當然也可以問旅館老板︰我們假設為10米。黃昏時分，你趴在旅館前的海灘上，請你的朋友坐在你房間里把下巴倚在窗台上。為了不使問題過于復雜化，我們可以這樣設想，趴著時你的眼楮處在地平面上。當太陽的上邊或者說最後一個亮點消失在海平面上時，你按下秒表開始記時。此時，從你朋友那里看，太陽還有一點仍處在海平面上，當太陽消失的一瞬間，讓你的朋友喊聲“停！”，你就讓秒表停下。你可能會覺得奇怪，不過這中間確實要經過24秒多（準確的結果應該是24.366秒）。
現在，你需要一點三角函數知識來推導出地球半徑。如圖1所示。對于趴在海灘上的人來說，太陽的上邊沒入海平面時，太陽發出的光線與地球相切于他趴著的地方，如圖上線段AB所示。處于高處的人看到太陽落山時的最後一縷光線，與地球相切的那條線是線段CE。設高處的觀察者所在的高度為h，地球的半徑為 R。三角形ODE是直角三角形。根據余弦定理，直邊OD=R與斜邊OE=R+h的關系式為R=（R+h）cosθ，其中cosθ是θ角的余弦。另外，我們知道，地球轉過這個θ角需要24.366秒（如果不出偏差）；因為轉一周要用24小時，這樣可以得出︰θ/360=24.366/（24×3600），結果θ=0.101525º。用一個小計算器可以算出θ的余弦等于0.99999843；代入上面的三角公式，其中h=10米，這樣得出 R 6370公里，正好是地球半徑。不用三角函數知識，也可以計算出同樣的結果，只不過需要比較復雜的幾何推理。
站直了和趴下
當然，事情不可能像描述得那麼理想，會有各種誤差。比如，你的眼楮不可能恰好處在地面上，而且你找的人頭腦反應快慢的問題等等，這樣得到的數據可能會有5%左右的偏差。如果你的房間在11層，或者最好你的朋友在海邊一個巨大的峭壁上，而你在峭壁的底部，通過手機接收他發出的停止指令，這樣偏差就會小些。在意大利的拉齊奧（Lazio）就有一個好去處︰在海邊有一座高600米的山，從高處到水平面大約有3分鐘的延遲，偏差幾乎為零。如果沒有人幫忙，你可以自己試一下，沿著台階跑上去，但願時間來得及。你還可以通過測量你趴在地上和站直身體時看到太陽落山的時間間隔進行計算。既然上面用到的幾何關系式表明間隔與兩個觀察點的高度差成正比，那麼如果你站直身體時眼楮的高度為1.70米，時間間隔就應該是10秒，不同的是高度差太小，時間太短而已（圖 2）。令人感到意外的是，雖然古人知道地球是圓的，而且早在公元前，畢達哥拉斯和亞里士多德就明確地指出了這一點，但據我們所知，古人從來沒有用過這麼簡單的方法來估算地球的半徑。這其中的原因也許是那個時代人們很難準確地測量時間。
井中的太陽
公元前3世紀，他看到太陽光直射入一口井里，並計算駱駝的腳程，最終埃拉托斯特尼測量出地球半徑
歷史上第一個做此種嘗試的是希臘天文學家埃拉托斯特尼（Eratosthenes，公元前280∼前190年），他的試驗比較復雜。埃拉托斯特尼認為，在賽伊尼（Syene），即位于今天的亞歷山大以南的阿斯旺（Assuan），在夏至日的正午，太陽差不多經過天頂︰他知道窄窄的井底被照亮。而在亞歷山大，情況就不一樣了，影子不可能消失，即太陽總是斜射的。他觀察了日晷指針（或一根竿子）的影子，而且他還知道太陽射到地球上的光線是平行的，通過計算影子和指針的長度關系，他得出結論︰正午時分，在亞歷山大，太陽光會與地面的垂直線有一個7.2º的夾角，相當于地球圓周角的 1/50（圖3）。
如圖所示，因為這個角度與賽伊尼和亞歷山大之間的經線弧度相等，于是只需確定這段距離的長度，再乘以50即可。然而在當時，測量這兩地之間的距離也非易事。
根據一個駝隊走完這段距離平均所花的時間，埃拉托斯特尼得出這段弧長為5000斯塔迪亞（1斯塔迪亞約為178米），那麼經圈的周長為5000× 50=250000斯塔迪亞，得出半徑長為7080公里，大約多出10%。不過，能根據駱駝的腳程計算出這樣一個數來已經不錯了。
公元前1世紀，希臘哲學家波塞多尼奧斯（Poseidonius）做了進一步努力︰這是第一次利用天文方法進行測量，得出的值比埃拉托斯特尼的數值略低。波塞多尼奧斯利用的是洛迪（Rodi）和亞歷山大之間的經線，他根據船航行兩地用的平均時間，並且根據老人星（Canopus）在同一時刻處在兩座城市上的不同位置確定中心角。事實上，這顆星在洛迪處在地平線上時，它的光線則以7.5º的斜角照到亞歷山大。在事隔900年後，阿拉伯人開始嘗試再一次測量地球半徑。他們也是在天文觀測的基礎進行的，不過任務更艱巨。他們在地上，準確地說就在巴格達附近的平原上，選取了兩個參照點豎起木竿。他們得到的結果更加精確，只有3.6%的誤差。
你也來試試
最後，建議讀者朋友們按照上面的方法試一試，並把結果告訴我。可能的話，我建議大家去靠海的天然高地，時間就選在黃昏時分。
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責任編輯:skylook
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